NEWTON

MÉTODO DE NEWTON 

VIDEO TUTORIAL

DESCARGAR EJEMPLO DE EXCEL 

LINK DE DESCARGA

El método de Newton o también llamado método de Newton-Raphson es uno de los métodos mas útiles y mejor conocido para aproximar el cero de una función.
Suponga que c es un cero de f , es decir, f(c)=0 y que x₀ es una aproximación dec. El polinomio de Taylor de grado uno para f alrededor de x₀ y su correspondiente residuo es:

(1)

 z esta entre x₀ y x.
Si en la ecuación (1) se reemplaza x por c y usando el hecho que f(c) = 0, se obtiene:

 (2)

si x₀ está suficientemente cerca de c, entonces en el último sumando de la ecuación (2) el término (c - x₀)²será pequeño, comparado con la suma de los dos primeros términos.

Si se desprecia este término se puede usar la expresión (2) para encontrar una aproximación al cero de f.

0  f(x₀) + f'(x₀)(c - x₀)

Despejando c en la ecuación anterior, resulta: 

El método de Newton comienza con una aproximación inicial x₀ del cero de la función a partir de la cual se define una sucesión {x_n} de aproximaciones definida por

, n0 (3)

Desde un punto de vista geométrico, lo que hace el método de Newton es construir la recta tangente a la gráfica de f en un punto cercano x₀ a c y encontrar el cero de la recta tangente, x₁ (véase la figura 5.2). La aproximación x₂ es el cero de la recta tangente a la gráfica de f en el punto x₁ y así sucesivamente.

Ejemplo 1.

Para aproximar una solución de la ecuación 3x + senx - e^x, se puede tomarf(x)=3x+senx-e^x. Observe que f(0) = -1 y f(1) = 1.123189, según el teorema del valor intermedio existe un cero de f en el intervalo [0,1].

Si se aplica el método de Newton comenzando con x₀ = 0 se tiene:

Los criterios de parada mencionados en el método de bisección también se pueden usar en el método de Newton.

A continuación se escribe un algoritmo para el método de Newton (N = Número máximo de iteraciones, E = Tolerancia o margen de error).

Cualquier programa para computadora que se base en el algoritmo anterior necesitará subprogramas o procedimientos para calcular f(x) y f´(x).

ANÁLISIS DE ERRORES

A continuación se analizará los errores del método de Newton. Entendiéndose por errores las cantidades e_n = x_n- c, x_n: aproximación del cero de f, c: cero de f

Observe que :

 (4)

Por el teorema de Taylor.
 donde z_n esta entre x_n y c ( ya quee_n=x_n- c, c = x_n- e_n).

Ahora,

reemplazando este resultado en la ecuación (4), se tiene

Este resultado indica que cada error es proporcional a la segunda potencia del error previo. Es decir, que si se comienza con una aproximación del cero de f con 1 dígito correcto, después de una iteración se tendría dos dígitos correctos; después de dos iteraciones cuatro dígitos correctos; y después de tres iteraciones ocho dígitos correctos, etc.

Ejemplo 2.

Halle una expresión para aproximar la raíz cuadrada de un número R>0. Use la expresión para aproximar 
Solución:

Se puede aplicar el método de Newton a la función f(x)=x²-R


Para aproximar , se usa la fórmula con R=5 y si se toma x₀=2 entonces

en una calculadora  = 2.236067977

Notas:

• Uno de los inconvenientes del método de Newton es la posibilidad de que se divida entre cero en la fórmula (3), lo que ocurriría si f’(x_n)=0.


• Existen funciones y puntos iniciales para los que el método de Newton fracasa. En la figura 5.3 se muestra una función en la que la gráfica tiene una forma que para ciertos valores iniciales la sucesión {x_n} diverge.


• En el método de Newton hay que evaluar dos funciones en cada iteración,f(x_n) y f’(x_n). Para algunas funciones f’(x_n) no es una expresión sencilla y se requieren más operaciones aritméticas para evaluarla que para la función. Esto hace que el método de Newton sea más costoso, por ejemplo que el método de bisección, en el que en cada iteración la función se evalúa una vez.