MÉTODO DE LA SECANTE
El método de la secante, es otro método para aproximar el cero de una función en el que en cada iteración se evalúa la función y no la derivada. A continuación se presenta este método.
Utiliza la misma fórmula del Método de Newton:
Utiliza la misma fórmula del Método de Newton:
pero en lugar de utilizar la derivada f ´(xn), este valor se aproxima por
Al reemplazar esta aproximación de f ´(xn) en la fórmula de Newton resulta:
Ya que el cálculo de xn+1 requiere conocer xn y xn-1 , se debe dar al principio dos aproximaciones iniciales x0 y x1.
La interpretación geométrica del método de la secante es similar a la del método de Newton. La recta tangente a la curva se reemplaza por una recta secante. El cero de f se aproxima por el cero de la recta secante a f. Si x0y x1 son las aproximaciones iniciales, la aproximación x2 es la intersección de la recta que une los puntos (x0, f(x0)) y (x1,f(x1)). La aproximación x3 es la intersección de la recta que une los puntos (x1, f(x1)) y (x2, f(x2)) y así sucesivamente.
Ejemplo.
Efectúe tres iteraciones del método de la secante para la función f(x) = xsenx - 1 con x0=1 y x1=2.
Solución:
Para este caso f(x4) = -0.000896772969
|f(x4)| < 0.0009.
Para este caso f(x4) = -0.000896772969
|f(x4)| < 0.0009.
Este ejercicio se resolvió con el método de bisección en la sección anterior y en la novena iteración |f(x9)| = 0.001216...
El método de la secante converge a la solución más lentamente que el método de Newton, pero tiene la ventaja de no usar la derivada en cada iteración.
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