MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL

MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL

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El método de Gauss-Seidel es el mas comúnmente usado para resolver sistemas muy grandes de ecuaciones lineales.

Es una modificación del método de Jácobi que hace que la convergencia sea mas rápida.

Comienza con una aproximación inicial x(0) a la solución x y genera una sucesión de vectores x(k)que convergen a la solución x.

Un sistema de ecuaciones algebraicas lineales es un conjunto de ecuaciones de la forma:

       ::                      ::               ::

O bien en su forma matricial:

 

Que a su vez se puede expresar como:

                        Ax = b

Donde “A” es la matriz de coeficientes, x es el vector de incógnitas y b el vector de términos independientes.

La solución del sistema de ecuaciones es un conjunto de n valores  que satisfacen simultáneamente todas las ecuaciones.

Tanto en el método de Gauss-Seidel como en el de Jácobi, el valor  que se le de al vector inicial carece de importancia, ya que el método convergirá a la solución rápidamente no obstante que el vector inicial tenga valores muy lejanos a la solución. Es por esto que se acostumbra a dar el vector 0 como vector inicial.

En la solución de estos problemas pueden presentarse 3 casos:

1.- Solución única                                          Sistema compatible determinado.

2.- Mas de una solución                               Sistema compatible e indeterminado.

     (numero infinito de soluciones)

3.- Sin solución                                              Sistema incompatible.

Ilustrando el método de Gauss-Seidel con un sistema de ecuaciones de 3x3, si el vector:

                                     

Es el vector aproximación a la solución x después de k iteraciones, entonces se tiene que para la siguiente aproximación:

Para un sistema de n ecuaciones  con n incógnitas se tiene la siguiente fórmula (usando una notación mas compacta): 

          Para 1£ i £ n