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sábado, 9 de abril de 2016

MÉTODO DE PUNTO FIJO

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MÉTODO DE PUNTO FIJO



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viernes, 8 de abril de 2016

MÉTODO DE JACOBI

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MÉTODO DE JACOBI



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Hasta ahora los métodos directos e indirectos han tenido problemas con los redondeos y aproximaciones a la solución real. Los métodos iterativos representan una alternativa potente para solucionar esta dificultad, puesto que éstos se acercan más a la solución real esperada a medida que se itera, de manera que la calidad de la aproximación obtenida dependerá de la cantidad de iteraciones que se éste dispuesto a efectuar. El planteamiento consiste en suponer un valor inicial y luego usar un método sistemático para obtener una estimación refinada de la solución.

El Método de Jacobi es uno de los métodos iterativos más conocidos.
Supóngase que se tiene un sistema 3 x 3. Si los elementos de la diagonal no son todos cero, la primera ecuación se puede resolver para x1, la segunda para x2 y la tercera parax3, para obtener:
x_1 = {{b_1 - a_{12} x_2 - a_{13} x_3 } \over {a_{11} }} x_2 = {{b_2 - a_{21} x_1 - a_{23} x_3 } \over {a_{22} }} x_3 = {{b_3 - a_{31} x_1 - a_{32} x_2 } \over {a_{33} }}

En general, para un sistema de ecuaciones lineales de n ecuaciones con n incógnitas, elMétodo de Jacobi para encontrar un valor k de una variable x es el siguiente:
x_i^{(k)} = \left( {b_i - \sum\limits_{j = 1,j \ne i}^n {a_{ij} x_j^{(k - 1)} } } \right)/a_{ii}

El procedimiento consiste en asignar unos valores iniciales a las variables, usualmente se escoge "0" por simplicidad, de manera que para generar la siguiente iteración se sustituyen los valores obtenidos en la ecuación siguiente, con lo que se obtiene:
x_1 = b_1 /a_{11}

En la siguiente sección se ilustra cómo la convergencia de éste método está dada por:
\left| {\varepsilon _{a,i} } \right| = \left| {{{x_i^k - x_i^{k - 1} } \over {x_i^k }}} \right| \times 100\% < \varepsilon _s
\left\| {b - {\rm A}x} \right\|_{norma} < tol
Convergencia del método:
Para determinar si el método de Jacobi converge hacia una solución. Se evalúan las siguientes condiciones de convergencia (Nota: las siguientes van en un órden de modo que si se cumple una de las condiciones, comenzando por la primera por supuesto, la evaluación de las siguientes no es necesario realizarlas):

  1. La matriz sea estrictamente dominante diagonalmente por filas (E.D.D. por filas), es decir, para todo i desde 1 hasta n que es el tamaño de la matriz A:
    \left| {a_{ii} } \right| \ge \sum\limits_{j = 1}^{i - 1} {\left| {a_{ij} } \right|} + \sum\limits_{j = i + 1}^n {\left| {a_{ij} } \right|}
    Es decir, el elemento de la diagonal correspondiente a la fila i debe ser mayor a la suma de los elementos de esa fila i.
  2. A partir de la siguiente identidad:
    A = D - L - U
    Donde D corresponde a la matriz formada por los elementos de la diagonal de A (D=diag(a11, a22, ..., ann)), -L corresponde a la matriz triangular inferior obtenida de la parte triangular estrictamente inferior de A, y -U corresponde a la matriz triangular superior obtenida de la parte triangular estrictamente superior de A, se puede deducir la fórmula vectorial de este método:
    X^k = D^{ - 1} (L + U)X^{k - 1} + D^{ - 1} b, k = 1, 2, ...
    De donde BJ (conocida como la matriz de iteración de Jacobi) es D-1(L+U). Para que el método de Jacobi converja hacia una solución,
    \left\| {B_J } \right\|_{norma} < 1, para una norma matricial inducida.
  3. ρ(BJ), que corresponde al máximo de los valores absolutos de las raíces de la ecuación característica de la matriz BJ (det(BJ - λI)) es menor que 1.



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MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL

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El método de Gauss-Seidel es el mas comúnmente usado para resolver sistemas muy grandes de ecuaciones lineales.
Es una modificación del método de Jácobi que hace que la convergencia sea mas rápida.
Comienza con una aproximación inicial x(0) a la solución x y genera una sucesión de vectores x(k)que convergen a la solución x.

Un sistema de ecuaciones algebraicas lineales es un conjunto de ecuaciones de la forma:
a
b
c
       ::                      ::               ::
d

O bien en su forma matricial:
e f

Que a su vez se puede expresar como:
                        Ax = b

Donde “A” es la matriz de coeficientes, x es el vector de incógnitas y b el vector de términos independientes.
La solución del sistema de ecuaciones es un conjunto de n valores g que satisfacen simultáneamente todas las ecuaciones.

Tanto en el método de Gauss-Seidel como en el de Jácobi, el valor  que se le de al vector inicial carece de importancia, ya que el método convergirá a la solución rápidamente no obstante que el vector inicial tenga valores muy lejanos a la solución. Es por esto que se acostumbra a dar el vector 0 como vector inicial.

En la solución de estos problemas pueden presentarse 3 casos:
1.- Solución única                          h                Sistema compatible determinado.
2.- Mas de una solución                i               Sistema compatible e indeterminado.
     (numero infinito de soluciones)
3.- Sin solución                                j              Sistema incompatible.

Ilustrando el método de Gauss-Seidel con un sistema de ecuaciones de 3x3, si el vector:
                                     k

Es el vector aproximación a la solución x después de k iteraciones, entonces se tiene que para la siguiente aproximación:
l

Para un sistema de n ecuaciones  con n incógnitas se tiene la siguiente fórmula (usando una notación mas compacta): 
m          Para 1£ i £ n

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MÉTODO DE GAUSS-JORDAN

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Este método debe su nombre a Carl Friedrich Gauss y a Wilhelm jordan. Se trata de una serie de algoritmos del algebra lineal para determinar los resultados de un sistema de ecuaciones lineales y así hallar matrices e inversas. El sistema de Gauss se utiliza para resolver un sistema de ecuaciones y obtener las soluciones por medio de la reducción del sistema dado a otro que sea equivalente en el cual cada una de las ecuaciones tendrá una incógnita menos que la anterior. La matriz que resulta de este proceso lleva el nombre que se conoce como forma escalonada.
Este método, permite resolver hasta 20 ecuaciones simultáneas. Lo que lo diferencia del método Gaussiano es que cuando es eliminada una incógnita, se eliminará de todas las ecuaciones restantes, o sea, las que anteceden a la ecuación principal así como de las que la siguen a continuación. De esta manera el paso de eliminación forma una matriz identidad en vez de una matriz triangular. No es necesario entonces utilizar la sustitución hacia atrás para conseguir la solución.


Para resolver sistemas de ecuaciones lineales con el método Gauss Jordan, debemos en primer lugar anotar los coeficientes de las variables del sistema de ecuaciones lineales con la notación matricial, por ejemplo:


También se le llama matriz aumentada.

Luego de realizado lo anterior procederemos a transformar dicha matriz en una matriz identidad, o sea una matriz equivalente a la inicial, de la forma:

Logramos esto aplicando a las distintas columnas y filas de las matrices, restas, sumas, multiplicaciones y divisiones. Debemos tener en cuenta que las operaciones utilizadas se aplicarán en todos los elementos de la fila.
En dicha matriz identidad no vemos los términos independientes. Esto sucede ya que cuando la matriz original alcance la matriz identidad, los términos serán la solución del sistema y verificarán la igualdad para cada variable que se corresponderán de la forma siguiente:

• d1 = x
• d2 = y
• d3 = z


Ahora teniendo clara esta base, analicemos detalladamente este método con un ejemplo concreto.
Sea el siguiente sistema de ecuaciones:

Aplicaremos luego el primer paso, o sea que lo anotaremos en forma matricial:

Realizado lo anterior, podemos operar con las distintas columnas y filas de la matriz para así convertirla en la matriz identidad, sin olvidar la forma del sistema:

Ahora debemos transformar el 2 de la primera fila de la matriz original en el 1 de la primera fila de matriz identidad. Para realizar este paso multiplicamos toda la fila 1 por el inverso de 2, o sea ½. Veamos como nos queda:

A continuación debemos obtener los dos ceros de la primera columna de la matriz identidad. Para lograrlo buscaremos el opuesto de los números que se encuentren por debajo del 1 de la primera columna. El opuesto de 3 será -3 y el de 5 -5. Hecho esto multiplicaremos los opuestos de estos números por cada uno de los elementos de la fila primera y estos se adicionarán a los números de sus respectivas columnas Por ejemplo en el caso de la segunda fila, se multiplicará a -3 que es el opuesto de 3, por cada uno de los elementos de la primera fila y se añadirá el resultado con el número correspondiente de la columna de la segunda fila. Veamos el ejemplo:

A medida que realicemos este procedimiento operando con las distintas filas y columnas de la matriz, observaremos como esta se transforma en el modelo de la matriz identidad. Finalizado el proceso, encontraremos finalmente en la cuarta columna los valores de las variables. Veamos entonces como nos quedaría:

x= 1

y= -1

z= 2


Resuelto el sistema de ecuaciones, podemos verificar como último paso:


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MÉTODO DE GAUSS

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En forma general este método propone la eliminación progresiva de variables en el sistema de ecuaciones, hasta tener sólo una ecuación con una incógnita. Una vez resuelta esta, se procede por sustitución regresiva hasta obtener los valores de todas las variables.
Sea por ejemplo el siguiente sistema de ecuaciones: 
Lo que buscamos son 3 números,  que satisfagan a las tres ecuaciones. El método de solución será simplificar las ecuaciones, de tal modo que las soluciones se puedan identificar con facilidad. Se comienza dividiendo la primera ecuación entre 2, obteniendo:

 x1+2x2+3x3= 9

4x1+5x2+6x3= 24

3x1+x2+2x3= 4

Se simplificará el sistema si multiplicamos por -4 ambos lados de la primera ecuación y sumando esta a la segunda. Entonces:

-4x1-8x2-12x3=-36

4x1+5x2+6x3=24

sumándolas resulta

-3x2-6x3=-12

La nueva ecuación se puede sustituir por cualquiera de las dos. Ahora tenemos:

x1+2x2+3x3= 9

0x1-3x2-6x3= -12

3x1+x2-2x3= 4

Luego, la primera se multiplica por -3 y se le suma a la tercera, obteniendo:

x1+2x2+3x3= 9

0x1-3x2-6x3= -12

0x1-5x2-11x3=-23

Acto seguido, la segunda ecuación se divide entre -3.

Ahora se multiplica por 5 y se le suma a la tercera:

x1+2x2+3x3= 9

0x1+x2+2x3= 4

0x1+0x2+x3= 3

En este momento ya tenemos el valor de x3, ahora simplemente se procede a hacer la sustitución hacia atrás, y automáticamente se van obteniendo los valores de las otras incógnitas. Se obtendrá:

x3= 3

x2= 4-2(x3) = -2

x1= 9-3(x3)-2(x2) = 4

Se ha visto que al multiplicar o dividir los lados de una ecuación por un número diferente de cero se obtiene una ecuación nueva y válida.


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